home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Hand Picked Software / Hand Picked Software.iso / educate / rucalc / cii_3.hlp < prev    next >
Text File  |  1995-03-13  |  3KB  |  124 lines
  1.                          INTEGRAL CALCULUS
  2.  
  3.  
  4.  
  5. The antiderivative of a function f(x), denoted by F(x), is defined as 
  6.  
  7. ⌠                            , 
  8. │ f(x)dx = F(x) + c  where  F (x) = f(x)  and c is an arbitrary constant.  
  9. ⌡  
  10.  
  11. The Fundamental Theorem of Calculus relates the antiderivative to the
  12. integral as:
  13.  
  14.                b
  15.               ⌠                               ,
  16.               │ f(x)dx = F(b) - F(a)  where  F (x) = f(x)                 
  17.               ⌡    
  18.                a  
  19.  
  20. as well as:
  21.                      x  
  22.                   d ⌠
  23.                  ── │ f(t)dt = f(x).   
  24.                  dx ⌡ 
  25.                      a
  26.  
  27.  
  28.       If f(x) ≥ O and continuous on [a,b] then:
  29.   b
  30. ⌠
  31. │ f(x)dx  is the area under the curve y = f(x) bounded by the 
  32. ⌡ 
  33.  a
  34.  
  35. lines x = a, x = b and y = O.
  36.  
  37.  
  38.      Properties of integrals of functions f(x) and g(x) continuous
  39. on [a,b]:
  40.           a            
  41.          ⌠
  42.      1.  │ f(x)dx  =  O
  43.          ⌡ 
  44.           a
  45.  
  46.           b                b
  47.          ⌠                ⌠
  48.      2.  │ k f(x)dx  =  k │ f(x)dx       where k is a constant
  49.          ⌡                ⌡
  50.           a                a
  51.  
  52.           b                     b          b
  53.          ⌠                     ⌠          ⌠   
  54.      3.  │ (f(x) ± g(x))dx  =  │ f(x)dx ± │ g(x)dx
  55.          ⌡                     ⌡          ⌡
  56.           a                     a          a
  57.  
  58.           b            c            b
  59.          ⌠            ⌠            ⌠   
  60.      4.  │ f(x)dx  =  │ f(x)dx  +  │ f(x)dx    for  c in (a,b).
  61.          ⌡            ⌡            ⌡
  62.           a            a            c
  63.  
  64.           b             a   
  65.          ⌠             ⌠
  66.      5.  │ f(x)dx  =  -│ f(x)dx
  67.          ⌡             ⌡
  68.           a             b                                           
  69.  
  70.           b
  71.          ⌠
  72.      6.  │ f(x)dx  =  f(c)(b - a) for some  c  in [a,b].
  73.          ⌡                        (Mean Value Theorem for Integrals)
  74.           a   
  75.  
  76.           b                     g(b)
  77.          ⌠          ,          ⌠                ,
  78.      7.  │ f(g(x)) g (x)dx  =  │ f(u)du   when g (x) is continuous on
  79.          ⌡                     ⌡          [a,b]. (u substitution)
  80.           a                     g(a)
  81.          
  82. Notice that the limits of integration on the u variable correspond to
  83. those on  x  through the function  u = g(x).
  84.  
  85. The concept of antidifferentiation leads us to the following formula:
  86.  
  87.          ⌠            n+1
  88.          │  n        x
  89.      8.  │ x dx  =  ──────  +  c
  90.          │          n + 1
  91.          ⌡
  92.  
  93.  
  94.          ⌠
  95.      9.  │ cos x dx  =  sin x  +  c
  96.          ⌡
  97.  
  98.  
  99.  
  100.          ⌠
  101.     1O.  │ sin x dx  =  -cos x  +  c
  102.          ⌡
  103.  
  104.           
  105.          ⌠    2
  106.     11.  │ sec x dx  =  tan x  +  c
  107.          ⌡
  108.  
  109.             
  110.          ⌠    2
  111.     12.  │ csc x dx  =  -cot x  +  c
  112.          ⌡
  113.                      
  114.          ⌠
  115.     13.  │ sec x tan x dx  =  sec x  +  c
  116.          ⌡ 
  117.  
  118.  
  119.          ⌠
  120.     14.  │ csc x cot x dx  =  - csc x  +  c
  121.          ⌡
  122.  
  123. where c is an arbitrary constant.
  124.